5.2- Breve historia de la lógica: de la lógica clásica a la lógica simbólica

Por Santiago Armesilla


Resumen: La lógica es, al mismo tiempo, una rama de la filosofía y una ciencia formal compatible con los métodos matemáticos y, a su vez, diferentes en parte de estos. Es, también, una rama de las matemáticas, que son un conjunto de ciencias en vez de una única ciencia categorialmente cerrada (en ella encontramos álgebra, aritmética, geometría, lógica, etc.). La lógica estudia los principios de la demostración y la inferencia válida, las paradojas, las falacias y, en resumen, la noción de verdad. La lógica ha servido a los hombres como disciplina que ha permitido discernir lo verdadero de lo falso, aunque no ha sido suficiente para ello pero sí fundamental. En este artículo resumimos, como base para futuros estudios, una breve historia del desarrollo de la lógica, desde la Antigüedad clásica hasta nuestros días.


Palabras clave: Lógica clásica, lógica simbólica, lógica formal, lógica dialéctica.





I. La lógica griega.


La lógica no ha recibido siempre el mismo nombre. Platón hablaba de “dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós.



I.1. Aristóteles.


Contra estas ideas separadas reaccionó Aristóteles, quien en su Organon o colección de obras lógicas, emplea la palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen solo en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica (ciencia de la realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y procesos de la mente). Aristóteles fue el primero en formalizar las expresiones, empleando variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema lógico de términos. Además de la lógica sensu estricto, en Aristóteles aparecen estudios acerca del uso de los términos en el lenguaje ordinario, sobre el arte de la argumentación y de la retórica, de metodología de la ciencia (incluido su método inductivo), de la organización de los sistemas deductivos y de la teoría del razonamiento deductivo o silogístico.


En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje ordinario. Por eso, la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de la dialéctica de Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés de éste por el “por qué” de las cosas”. La lógica de Aristóteles parece seguir el tratado de una ontología general.


Esto se manifiesta en una serie de proposiciones que pueden resumirse así:


a) la lógica es un instrumento para el pensar y supone un pensamiento;

b) el pensamiento supone una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo;

c) es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo del ser “constitutivo” de lo real;

d) la lógica puede de este modo convertirse en ciencia de los principios de lo que es.


En Metafísica XI, 7, Aristóteles afirma que la lógica es una técnica indispensable para la investigación, pero añade que la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia. Esta teoría es el fundamento de todo conocimiento intelectual. La forma es a la vez la ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca. Si el hombre existe, la afirmación de que existe es verdadera, y si es verdadera la afirmación, el hombre existe. Pero añade que en esta relación el fundamento es la realidad, y que la realidad no es tal porque la afirmación que le concierne sea verdadera, sino que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa. En otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de la forma y no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica.


Aristóteles no pretendió fundar la lógica como ciencia formal en el sentido moderno del término. Según él, la lógica tiene un objeto, a saber, la estructura de las ciencias en general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de las ciencias. Afirma que la lógica debe analizar el lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o separación de los signos (de que consta una proposición) reproduzca o no la unión o la separación de las cosas. El lenguaje apofántico no tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son convencionales, tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos”. Por tanto, el lenguaje es convencional en su diccionario, no en su sintaxis. En consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser.



I.1.a. Cuantificación de los enunciados.


Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P es el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un sujeto o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos encontramos con un enunciado conceptual o general. En los Analíticos Anteriores (I, 24 a 16) solo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. El enunciado es una oración que afirma o niega de algo, y es universal, particular o indefinido. Aristóteles llama universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad. El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir, una expresión lingüística como “cada”, “todos” o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, afirmando que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto. El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el predicado particularmente al sujeto, solo afirma que el concepto-predicado es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto sujeto. El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o particularmente al sujeto.


Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera. Dividía los enunciados simples en ocho tipos, según su cuantificación y su carácter afirmativo o negativo:

Afirmativo

Negativo

S es P

S no es P

Enunciado

Universal

Todo S es P (a)

Ningún S es P (e)

Particular

Algún S es P (i)

Algún S no es P (o)

Indefinido

S es P

S no es P

En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce más que cuatro tipos de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante las letras a, e, i, o, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (a), universales negativos (e), particulares afirmativos (i) y particulares negativos (o).



I.1.b. Oposición entre enunciados.


Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados puede ser de dos tipos:


1) Oposición contradictoria o contradicción: se da entre dos enunciados de los cuales uno es la negación del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicción, el otro ha de ser falso. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s no es P”. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles. La contradicción se da también, en él, entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S es P”. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados del tipo “ningún S es P” y “algún S es P”. Así, “Todo S es P” es el contradictorio de “algún S no es P”, “Ningún S es P” es el contradictorio de “Algún S es P”, “Algún S es P” es el contradictorio de “Ningún S es P”, y “Algún S no es P” es el contradictorio de “Todo S es P”. Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. Por tanto, si negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un enunciado hemos de negar su contradictorio.


2) Oposición contraria o contrariedad: se da entre dos enunciados que no pueden ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. También los dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo, entre dos enunciados de los tipos “Todo S es P” y “Ningún S es P”. Así, “Todo S es P” es el contrario de “Ningún S es P” y viceversa. Habría cuatro leyes de la oposición contradictoria: 1) Si no (todo S es P), entonces (algún S no es P); 2) Si no (ningún S es P), entonces (algún S es P); 3) Si no (algún S es P), entonces (ningún S es P); y 4) Si no (algún S no es P), entonces (todo S es P). Y habría dos leyes de la oposición contraria: 1) Si (todo S es P), entonces no (ningún S es P); y 2) Si (ningún S es P), entonces no (todo S es P). Estas dos últimas leyes son inválidas desde la lógica actual.



I.1.c. Conversión de enunciados.


Aristóteles prescinde de los enunciados singulares en su lógica madura porque pretende permutar sujeto y predicado en cualquier enunciado. Pero si el sujeto es concreto o es una entidad concreta, será imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutación es imposible. Pero si tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la permutación es siempre posible. Por eso, Aristóteles limita su consideración a los enunciados conceptuales o generales. La conversión de un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hacía de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la permutación de sus conceptos. Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse nunca. Los enunciados universales afirmativos pueden convertirse solo a condición de transformar su cuantificación de universal en particular. Aristóteles obtiene las siguientes leyes lógicas de la conversión: 1) Si (ningún S es P), entonces (ningún S es P); 2) Si (algún S es P), entonces (algún S es P); y 3) Si (todo S es P), entonces (algún S es P).



I.1.d. Silogismos y figuras.


Aristóteles usa la palabra “silogismo” para referirse a la deducción formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión), cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “Todo S es P”, “Ningún S es P”, “Algún S es P” o “Algún S no es P”, donde S y P son conceptos generales que en los tres enunciados juntos aparecen, ni más ni menos. Para que las premisas impliquen la conclusión, es preciso que en ella aparezcan los dos conceptos de la conclusión (extremos), uno en cada premisa y, además, un concepto nuevo, que no aparece en la conclusión, pero que aparece en ambas premisas (medio). Estas combinaciones se clasifican en figuras:


- 1ª figura: se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto medio es predicado de una premisa y sujeto de otra. (1.1- Si todo S es P y todo P es Q, entonces todo S es Q). De aquí se deriva que 1.2- si todo S es P y ningún P es Q, entonces ningún S es Q; 1.3 - si algún S es P y todo P es Q, entonces algún S es Q; y 1.4- si algún S es P y ningún P es Q, entones algún S no es Q.


-2ª figura: se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto medio es predicado de ambas premisas. También se dan cuatro combinaciones: 2.1.- si todo S es P y ningún Q es P, entonces ningún S es Q; 2.2.- si ningún S es P y todo Q es P, entonces ningún S es Q; 2.3.- si algún S es P y ningún Q es P, entonces algún S no es Q; y 2.4.- si algún S no es P y todo Q es P, entonces algún S no es Q.


-3ª figura: se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el concepto medio es el sujeto de ambas. En esta tercera figura, Aristóteles reconoce seis combinaciones en las cuales las premisas implican la conclusión: 3.1.- Si todo P es S y algún P es Q, entonces algún S es Q; 3.2.- si todo P es S y algún P no es Q, entonces algún S no es Q; 3.3.- si algún P es S y todo P es Q, entonces algún S es Q; 3.4.- si algún P es S y ningún P es Q, entonces algún S no es Q; 3.5.- si todo P es S y todo P es Q, entonces algún A es Q; y 3.6.- si todo P es S y ningún P es Q, entonces algún A no es Q.


El silogismo perfecto, para Aristóteles, es el que no necesita nada de lo puesto en las premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. El imperfecto será el que, para hacer evidente la necesidad de la conclusión, necesita de una o varias cosas que no aparecen explícitamente en las premisas, aunque se siguen necesariamente de ellas, por ejemplo necesita del silogismo perfecto como los de la 1ª figura. En esta, la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza la segunda, lo que facilita la intelección; el concepto medio ocupa efectivamente el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; y el primer y último conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último conceptos del consiguiente (o conclusión).



I.1.e. Silogismos: premisas y validez.


Para Aristóteles, toda doctrina o disciplina deriva de un conocimiento preexistente. Para que el silogismo concluya necesariamente, las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. Para ser tales, han de ser en sí mismas principios verdaderos, primeros e inmediatos (evidentes por sí mismos), y respecto a las conclusiones, más cognoscibles, anteriores a aquellas y, a la vez, su causa. Los principios son definiciones solo posibles desde la sustancia, fuente de las ciencias. Todo conocimiento es conocimiento de causas.



I.1.f. La inducción y la deducción.


Según Aristóteles, la inducción es una deducción que, en lugar de deducir un extremo de otra mediante el término medio, como hace el silogismo, deduce el término medio de un extremo, valiéndose del otro extremo. La inducción es válida si y solo sí se agotan todos los casos posibles. Es de uso limitado y no puede suplantar al silogismo deductivo, aunque es un procedimiento más fácil y claro. La inducción puede usarse en la dialéctica y en la oratoria, pero no en las ciencias.



I.2. Los estoicos.


Para ellos, lógica es la doctrina que analiza los discursos continuos (lógoi). Lógica es retórica y dialéctica, que definen como “ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso, y de lo que no es ni verdadero ni falso” (como los sofismas y paradojas). Fueron, junto con los megáricos, los primeros en estudiar la lógica de enunciados, relaciones entre estos unidos por partículas como “y”, “o”, “sí… entonces”, con forma de argumento y no de implicación, con una conclusión derivada de premisas. Establecieron leyes lógicas como el modus ponens (si P entonces Q, y P, por tanto Q), el modus tollens (si P entonces Q, y no Q, por tanto no P), el silogismo disyuntivo (P o Q, y no P, por tanto Q), etc., todos entendidos como reglas de inferencia.



I.2.a. El criterio de verdad.


Es el problema fundamental de la lógica estoica. Es la representación cataléptica o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado esta expresión. En primer lugar, la fantasía puede consistir en la acción del intelecto que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la representación impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acción del objeto sobre el entendimiento (Sexto Empírico, Zenón).



I.2.b. El asentimiento y la epoché.


El asentimiento, la suspensión o la disconformidad constituyen el juicio. Según Sexto Empírico, la verdad (o epoché) es la representación cataléptica que no tiene nada contra sí. La ciencia será la representación cataléptica o hábito inmutable para aceptar tales representaciones, acompañadas de razonamiento. No hay ciencia sin dialéctica, que preside los razonamientos.



I.2.c. El nominalismo estoico.


Para ellos, los conceptos no tienen ninguna realidad objetiva. Lo real es siempre individual, y el universal solo subsiste en las anticipaciones o en los conceptos. El estoicismo es un nominalismo. Hay cuatro conceptos o categorías: sustancia, cualidad, modo de ser modo relativo. La siguiente encierra la precedente y la determina. Nada es relativo sin modo de ser, sin cualidad fundamental y sin ser sustancia. Todo es. El concepto más determinado es el de especie.



I.2.d. La proposición y el razonamiento.


Estas ideas estoicas influyeron mucho en la lógica medieval y moderna, cuando significado se llamó connotación, intensión o comprensión, y lo que significa se llamó suposición, referencia, denotación o extensión. Su fundamento es la teoría del significado. Coligan tres elementos: significado (incorpóreo, nos viene a la mente cuando oímos una palabra referida a esta o a una cosa determinada), lo que significa y lo que es, que son corpóreos. Solo la proposición es un significado completo porque puede expresarse en una frase. Los estoicos distinguen la confluencia de un razonamiento de su verdad. Los tipos fundamentales de razonamientos concluyentes se llaman apodícticos, o no demostrativos, evidentes por sí mismo, siempre válidos pero no siempre verdaderos. Solamente son verdaderos cuando la premisa corresponde a la situación de hecho, cuando esta es verdadera. Sobre ellos se modelan los razonamientos demostrativos o indicativos, concluyentes y que manifiestan algo no manifiesto a la representación cataléptica del aquí y ahora. Ponen en claro lo que antes era oscuro, también por rememoración. Según Filón de Megara y Diodoro de Cronos, “si… entonces” será falso cuando nunca el antecedente es falso y el consecuente falso (implicación material permanente, Russell, Frege, Lewis y la implicación estricta).



II. Del medievo al álgebra lógica.


En el Occidente cristiano, del siglo XI al XV, se desarrolla la lógica medieval, que hereda la griega, en especial la silogística aristotélica. Las nuevas aportaciones de la Escolástica son, según Prior: 1) una teoría general de la referencia (suppositio terminorum); 2) una teoría general de la implicación (consequentia); 3) un desarrollo de la lógica de las modalidades; y 4) el tratamiento de paradojas y problemas lógicos del lenguaje. El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica de Alcuino, escrita para enseñarse en la enseñanza elemental de la época, o trívium, a iniciativa de Carlomagno. Quedó asociada a las artes liberales. Más tarde, Pedro Abelardo redacta Sic et Non. A partir delos siglos XII y XIII, se construye la nueva lógica aristotélico-escolástica o ars nova. En los siglos XIV y XV influyó la Summulae Logicales, de Pedro Hispano. En Oxford las figuras más importantes son Duns Escoto y Ockham. La lógica estoica influye sobre la medieval a través de la lógica sobre las consecuencias (a través del uso de la partícula “ergo”). Se añade la teoría de la suppositio, que influye en la actual teoría de cuantificación.



II.1. Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones categóricas.


En De philosophia rationali, Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro proposiciones clásicas, divididas en universales (cuando el predicado es atribuido o negado con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto), particulares (cuando al predicado se atribuye o se niega alguno de los entes abarcados por el sujeto), singulares (cuando el predicado se afirma o se niega de un solo individuo) e indefinidas (cuando el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, sin precisar a cuántos individuos se hace referencia). Boecio parte de Apuleyo, pero introduce proposiciones contradictorias, contrarias, subcontrarias y subalternas. Introduce términos como sujeto, predicado y contingente. Introduce las inferencias inmediatas (la conclusión surge inmediatamente de la premisa, sin mediar una segunda premisa), las inferencias por conversión (intercambio de sujeto y predicado en las proposiciones, por conversio simplex o per accidens), por obversión y por contraposición). Para Boecio, las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas. Es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición hipotética, pero no lo inverso. Distingue dos tipos de proposiciones hipotéticas: cuando el consecuente está vinculado al antecedente de manera accidental, y cuando el consecuente es una consecuencia natural del antecedente.



II.2. Pedro Hispano.


En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y versos mnemoténicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de la lógica. Con la A se indica la proposición universal afirmativa, con la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular negativa. También incluye la lógica terminalista. Las propiedades de los términos son la suposición (la más importante, propia del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión semántica, diferenciando suposición simple para la cosa universal, y suposición personal cuando el término común está entre los sujetos comprendidos por el mismo), la ampliación, la restricción, la apelación y la distribución.



II.3. De Lulio a Leibniz.


Los lógicos medievales construyeron un álgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus ambigüedades y extraer reglas de su uso exacto.



II.3.a. Raimundo Lulio.


Lulio piensa que el ser de las criaturas es como una imitación de Dios, y la naturaleza es como un libro en el que pueden leerse los designios de la divinidad. Pero para captar el orden divino deben establecerse unos principios generales a los que reducir todas las proposiciones y, debidamente combinados, hacer posible una presentación unitaria, rigurosa y encadenada de todo el saber. Menciona 18, de los cuales 9 son atributos divinos, obtenidos a partir de maximizar en grado supremo las perfecciones de los seres creados (bondad, eternidad, grandeza, poder, voluntad, virtud, sabiduría, verdad y gloria). Los otros señalan relaciones entre los seres creados y contingentes (principio, medio, fin, contrariedad, diferencia, concordancia, minoría, igualdad y mayoría). Cada elemento se representa por letras o símbolos, y los combina en círculos concéntricos móviles. Así se solventaban problemas religiosos y científicos. Lulio se basó en la silogística de Aristóteles, aunque también se basó en el realismo neoplatónico.



II.3.b. Leibniz.


Para Leibniz, el saber conceptual se reducirá a descubrir todas las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones en este reino de las verdades esenciales. Admirador de la silogística aristotélica, aunque no creía que todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo. No llegó a crear una lógica de relaciones debido a que pensaba que éstas podían reducirse a conjunciones o concatenaciones de predicados monádicos. Sostuvo también que las figuras de los silogismos no son tres, sino cuatro, obteniéndose entonces 24, y no 14, formas válidas de silogismo. En De arte combinatoria pensó en la creación de un lenguaje simbólico universal que fuese un instrumento de cálculo del pensamiento. Su ideal era que las disputas y diferencias de opinión se pudiesen resolver mediante el cálculo. Quiso también crear una lógica del descubrimiento o invectiva. Aritmetizó la lógica, aunque también usó letras, y esbozó un cálculo con el concepto de sustracción de las comprensiones de los términos. El concepto de predicado está incluido en el concepto de sujeto. Propone nuevas lecturas de las proposiciones categóricas en Algunas dificultades de la lógica:


Todo A es B

AB = A

A no B es no-ente

Algún A no es B

AB ≠ A

A no B es ente

Ningún A es B

AB ≠ AB ente

AB es no ente

Algún A es B

AB = AB ente

AB es ente

En la versión de la segunda columna puede verse que, dada la tesis de la contención o inclusión del predicado en el sujeto, tanto A como el predicado B están incluidos en el sujeto A, es decir AB ⊂ A, pero también A ⊂ AB, pues para Leibniz todo enunciado o proposición, tanto de razón como de hecho, afirma una identidad o su negación. Si la identidad es una verdad de razón, esta se demuestra en un número infinito de pasos. Si es una verdad de hecho, se necesita, para su demostración, una aproximación continua e interminable a una identidad que solo es vista por la mente divina. En la tercera columna, todas las oraciones de sujeto-predicado, unidas por la cópula (oraciones del tercer adyacente), equivalentes a oraciones en el que el sujeto es la unión de sujeto y predicado, del cual se predica la entidad o la no entidad (oraciones de segundo adyacente).



II.4. La lógica de Port-Royal.


Los lógicos de Port-Royal no conciben la lógica como una ciencia, sino como un arte para enseñar a pensar correctamente, un instrumento adecuado para servir a las demás ciencias. Por consiguiente, es inútil perder el tiempo con silogismos elaborados mediante ejemplos artificiosos. Deben ser efectivos y cotidianos. Los hombres, en general, razonan correctamente, pero a menudo juzgan erróneamente. Razonar, deducir consecuencias basadas en premisas, ha de estar precedido por el arte de pensar, establecer premisas válidas. La lógica pone en claro lo que hay debajo del lenguaje. De ahí que conciban una Gramática general.



II.5. Kant: lógica formal y lógica trascendental.


Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilidad en general (estética) y la ciencia del intelecto en general (la lógica). Divide esta entre lógica general (que prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los principios en general del pensamiento, sin los cuales no habría intelecto), y lógica trascendental (de la que se ocupa en Crítica de la razón pura, que no prescinde del contenido, basado en conceptos empíricos con elementos sensibles, y conceptos puros no mezclados con ninguna sensación).



II.6. El siglo XIX.


Entre 1825 y 1900 el álgebra y la geometría experimentaron grandes cambios, que dieron lugar a una nueva filosofía de la matemática. Una ecuación es un enunciado que establece que dos grupos de números o de signos representativos de ellos son iguales. Hacia 1825, el álgebra solo era teoría de ecuaciones. Pero Peacock adelantó que era una ciencia deductiva como la geometría, con un cuerpo de leyes con sus propiedades y signos. También había que destacar a John Stuart Mill (A System of Logic, Rationative and Inductive).



III. Boole.


El análisis matemático de Boole supone el nacimiento de la lógica matemática. Influido por la lógica clásica, Morgan y Hamilton sobre el cambio de las cuatro formas de enunciado categórico (A, I, E y O) en un número mayor en las que se toma en consideración la cuantificación del predicado. En estos dos, S y P se convierten en signos de las cosas mismas que poseen las cualidades, y no como signos de cualidades según Aristóteles. Así, del “Todo S es P” intensional (cualidades de objetos) se pasa al “Todos los S son P” extensional (clases de objetos). Esto permitió una estricta matematización de la lógica, pues los conceptos extensionales poseen siempre unos criterios de aplicación más claros. El nombre que se emplea en lógica y matemáticas para designar un grupo formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de conjunto o clase, y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la clase o del conjunto. Las ideas de clase y elementos son básicas en la matemática actual. Hamilton, Morgan y Boole conciben la lógica como un álgebra de clases. Boole da cuenta de la antigua lógica como un álgebra, mostrando cómo los enunciados A, I, E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples; cómo las consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse algebraicamente partiendo de su ecuación correspondiente; cómo la validez de un silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuación correspondiente a la conclusión puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones correspondientes a las premisas; y cómo si se dan ciertos enunciados como premisas de un silogismo es posible obtener algebraicamente una conclusión necesaria partiendo de sus correspondientes ecuaciones. También expone una teoría de la lógica de enunciados considerada como un álgebra, por lo que fue el primero en ofrecer una teoría unificada de la lógica. El álgebra de Boole es como una teoría con dos interpretaciones. Así, en álgebra de clases “1” significa lo verdadero, “todo” (la clase de todos los elementos posibles), “0” es “nada”, lo falso, (la clase que no tiene por elemento nada que sea elemento de “todo”), “x+y” significa que cada una es verdadera pero no las dos a la vez, y “xy” significa que ambas son verdaderas.



IV. La lógica simbólica.



IV.1. Gottlob Frege.


El objetivo de Frege es fundamentar la aritmética y aclarar de una vez por todas la naturaleza de los números naturales, algo que condensa en la fundamentación de la matemática: reducir la aritmética a lógica, derivar los conceptos de la aritmética de conceptos lógicos y deducir los principios aritméticos de los principios lógicos. Desde 1872, todos los matemáticos admitieron que todos los conceptos de la matemática pueden reducirse a los de la aritmética, y los de ésta a los números naturales, y Frege asume la tarea de derivar estos últimos por medios estrictamente lógicos. Con ello logra establecer que toda la matemática es reducible a la lógica precisando qué es esta y enumerando los conceptos lógicos con los que poder definir los aritméticos, y demostrando que los teoremas aritméticos son derivables de los principios lógicos mediante la deducción, único proceso válido. Esto obliga a establecer cuáles son los primeros principios y cuáles las reglas de inferencia. Alejada de la gramática y del lenguaje usual, elabora su Conceptografía. Según esta, solo hay juicios analíticos (aritméticos) y sintéticos (lógicos). Argumenta que debe eliminarse de la lógica “sujeto” y “predicado” y sustituirlos por “argumento” y “función”. Construirá un lenguaje de fórmulas lógicas a semejanza de la aritmética describiendo sus símbolos y representándolos sistemática y deductivamente. Da lugar así a la lógica de primer orden y a una nueva noción de “sucesión”, de orden lineal o cadena. Trata con ello de reflejar una suerte de “pensamiento puro”.


Para Frege, el signo es inseparable del contenido o concepto que represente, pues este es primero y luego aquel. El hombre no crea conceptos, los aprehende pues son independientes del hombre. En lógica y matemática, lo que importa es el pensamiento puro, no la génesis del mismo. De ahí su oposición a Boole y su construcción de un cálculo formal que ha de partir de un signo material, algo impotente para expresar, según Frege, conceptos y relaciones estrictamente lógicas. El pensamiento o “sentido”, según Frege, es independiente de la representación sensorial del mismo y, por tanto, de la subjetividad. Frege sigue a Leibniz en su propensión de construir una lingua charaterica que no aboque al cálculo por el mero cálculo. El cálculo será, en todo caso, un complemento de dicha lingua. Frente a los formalistas, Fregue distingue expresión, contenido judicativo de la misma (lo más importante para él) y aserción o juicio del contenido o pensamiento. Deja fuera de la lógica la distinción entre juicios categóricos, hipotéticos y disyuntivos. Aplica la negación a contenidos de juicios y no solo a su expresión. Rechaza las distinciones modales como tema propio de la lógica, pues aquellas se refieren más al fundamento cognoscitivo que se tiene en el momento de enunciarlas que al contenido del juicio. Así se invalida toda construcción lógico-modal. Representó los espacios vacíos entre paréntesis, como indeterminados, mientras que la propia función la representa por una letra –“ϕ(A) para la función de un argumento, y ϕ(A,B) para la función de dos argumentos-. Si al remplazar “convenientemente” la letra entre paréntesis resulta que el contenido obtenido es capaz de ser convertido en juicio, en aserción, entonces es que el argumento satisface la función, es decir, posee la propiedad determinada por la misma. Es el análisis de una proposición en letra funcional y argumento el que permite superar a Frege la distinción entre sujeto y predicado, por el cual puede establecerse uno de los mayores logros de su lógica matemática: la teoría de la cuantificación. Siguiendo con la función, puede ocurrr que todo término que se reemplace en el argumento de una función posea esta propiedad, con lo que estamos ante un cuantificador universal. Su negación nos permite hacer aserciones existenciales. Así, introduce las nociones de variable libre y ligada. El cuantificador universal debe estar sometido a que cualquier sustitución que pueda hacerse en una función tenga que dar un contenido que pueda convertirse en juicio. La variable que acompaña al cuantificador aparece como una variable ligada y, por ello, es diferente a una variable libre.



IV.2. Giuseppe Peano.


Antes de Peano nadie usó la lógica de enunciados para clarificar los argumentos de la matemática ordinaria, viendo así en la lógica un instrumentos para aclarar y dar rigor al razonamiento matemático, ni que la implicación es la relación fundamental en matemáticas, por ser implicaciones casi todos los enunciados verdaderos en cualquier sistema matemático. Con él se constató, gracias a la lógica, la posibilidad de poner todos los enunciados de la matemática, y no solo de la aritmética como pensó Frege, en forma de un lenguaje artificial de signos, y construir las demostraciones de todos los teoremas matemáticos mediante cambios y sustituciones de tales signos partiendo de axiomas y definiciones. Descubrió la definición de una clase por medio de un enunciado de la forma: “la clase de los x tales que P(x)” -x px-; también que los enunciados con variables libres difieren de un modo importante de los bivalentes; el uso de puntos en lugar de signos para agrupar complejos de signos –(, ), [, ],-; el uso de signos diferentes a los matemáticos para las operaciones y relaciones lógicas cuando puede haber peligro de lectura errónea; la distinción de la relación de ser elemento de una clase ( ) respecto de la de ser parte de una clase (); “el tal y tal” (Russell) para tratar propiedades de solo un individuo; la notación de cuantificador universal escribiendo en la parte inferior derecha del conector de enunciados; y la notación del cuantificador existencia ( ).



IV.2.a. La formalización de la aritmética.


La formalización de la aritmética fue su logro más importante. La operación de contar tiene las siguientes propiedades: 1) n es un número; 2) el sucesor de un número es un número; 3) no hay dos números que tengan el mismo sucesor; 4) n no es el sucesor de ningún número; y 5) todos los números naturales tienen cierta propiedad, tanto el primero como su sucesor (inducción matemática). Los elementos del sistema formal de Peano son: 1) términos primitivos no definidos (“0”, “número” y “sucesor”); 2) los axiomas 1) a 4), en los que aparecen dichos términos primitivos, son las fórmulas o enunciados primitivos de la teoría, de los que se derivan, por demostración, todos los demás; 3) reglas de formación y transformación de fórmulas o enunciados admisibles de la teoría, y reglas de inferencia que permiten pasar de un enunciado a otro; 4) definiciones que introducen términos definidos valiéndose de los no definidos, y que, por consiguiente, cabe eliminar efectuando la reducción a estos últimos (pero las deducciones facilitan los métodos de inferencia); y 5) teoremas demostrables apoyándose en 1) a 4).


Si decimos de las cosas susceptibles de ser contadas que son miembros de conjuntos o clases de cosas, nos acercamos más a las intuiciones que tenemos acerca de ellas. Cuanto sea uno constituirá una clase de un solo miembro, en virtud de su singular identidad como esa cosa. Todas las cosas del universo son idénticas a sí mismas, en la medida en que son discriminablemente únicas cada una de ellas por una serie de conjunto único de propiedades que las hagan ser esa cosa y no otra (clases unitarias, 1). La clase vacía (0) será la clase carente de miembros. De 0 como clase vacía podemos generar 1, como la clase cuyo único miembro sea la clase vacía, que será 2, y así sucesivamente (0, 1, 2, 3, …).



IV.3. Russell y los Principia Mathematica.


Russel y Whitehead escribieron Principia Mathemática, que es a la lógica moderna lo que el Organon de Aristóteles supuso para la lógica clásica. Es síntesis y culminación de todos los desarrollos de la segunda mitad del siglo XIX. La primera parte, “Lógica matemática”, desarrolla la teoría de juntores o conectores (lógica de enunciados), la teoría de cuantores o enunciados con variables de individuo (lógica de predicados monádicos) y la teoría de clases y relaciones (lógica de predicados poliádicos) como un álgebra. La segunda parte, “Prolegómenos a la aritmética cardinal”, se ocupa de definir los números cardinales y construir una aritmética de los mismos con los pilares de la lógica. Los volúmenes 2 y 3 estudian las aritméticas cardinales y ordinales con base en la lógica.



IV.3.a. La teoría de los tipos.


Para Russell, toda la matemática es reducible a la lógica. La matemática pura se sigue de premisas puramente lógicas. Russel lo demuestra empleando solo conceptos definibles por medio de términos lógicos. Ahí aparece la paradoja de Russel, de la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas). La dificultad de la paradoja residía en la lógica antes que en las matemáticas. Si tenemos n objetos ante nosotros y queremos saber cuántos modos existen de elegir ninguno, uno, algunos o todos los n objetos, el número de modo es , una clase de n términos que tienen subclases. Pero si es mayor que n, existen más clases de cosas que cosas, por lo que las clases no son “cosas”, sino meras conveniencias del discurso. Es decir, dada cualquier función proposicional, fx, existe cierto rango de valores de x para los que esta función es “significativa”. Si a está en el rango, fa es una proposición verdadera o falsa. Además de sustituir la variable x por una constante, pueden hacerse otras dos cosas con una función proposicional: una es afirmar que siempre es verdadera; la otra, decir que algunas veces es verdadera. Hay, pues, tres cosas que pueden hacerse con una función proposicional; sustituir la variable por una constante, afirmar todos los valores de la función y afirmar algunos valores o al menos uno de ellos. En sí misma, la función proposicional solo es una expresión, no afirma ni niega nada, al igual que una clase. Por otro lado, cuando afirmo todos los valores de una función fx, los valores que x puede tomar deben ser definidos, si lo que estoy afirmando ha de ser definido. Es decir, ha de haber un determinado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores, definidos en términos de ese total, este aparece por ello aumentado y, en consecuencia, los nuevos valores que a él se refieren se referirán a ese total aumentado. Tendremos, por tanto, que distinguir entre proposiciones referidas a un determinado total de las mismas (que nunca pueden ser miembros de tal totalidad) y proposiciones que no lo hacen (proposiciones de primer orden). Proposiciones de segundo orden serán las que se refieran a totalidades de proposiciones de primer orden, y así ad infinitum. Es lo que Russell llamó teoría de los tipos, negando la posibilidad de la autorreferencia (no debemos jamás hablar de las proposiciones de un lenguaje L en ese mismo lenguaje, sino que debemos utilizar un lenguaje L +1).



IV.3.b. La teoría de las descripciones.


Es la aportación más importante de Rusell a la lógica, según la cual una frase puede contribuir al significado de una oración sin tener significado en absoluto de forma aislada. Es necesario distinguir entre un nombre y una descripción. Un nombre no puede aparecer significativamente en una proposición a menos que haya algo que denomine, mientras que una descripción no está sujeta a esta limitación. El no hacer esta distinción nos lleva a defender la existencia de objetos inexistentes. La existencia, en este sentido, puede afirmarse solamente de una descripción y, cuando se analiza, se descubre que es un caso de función proposicional que es verdadera por lo menos para un valor de la variable. Cuando un nombre se emplea correctamente como tal, no es correcto gramaticalmente decir “que existe”.



IV.3.c. Los Principia Mathematica.


En esta obra aparece la primera axiomatización de la lógica, la cual puede concebirse como un sistema de reglas de deducción natural o de inferencia, destinadas a su aplicación a los razonamientos del lenguaje ordinario, o bien como un cálculo. En este último caso se trata de un algoritmo bien definido, que no se refiere a nada y en cuanto tal carece de significado (excepto el puramente sintáctico) con vistas al estudio de sus propiedades metalógicas (como la consistencia, la completud o la decidibilidad). En un cálculo han de presentarse solo los elementos imprescindibles –todos ellos perfectamente determinados- y en términos de éstos se irán construyendo los demás. Esto es, un conjunto de símbolos primitivos con los que se construirán los símbolos derivados, unas reglas de formación de expresiones bien formadas o fórmulas, y alguna regla de transformación de expresiones. Si a ello añadimos un número de axiomas, esto es, de fórmulas tomadas como verdaderas por definición dentro del sistema, el cálculo se convierte en un sistema formal, y entonces se dice que está axiomatizado.


En Principia Mathematica aparecen como símbolos primitivos los siguientes:


1) las variables proposicionales (p, q, r, s, etc.);

2) las conectivas (¬, ˅); y

3) los diversos signos de puntuación ((), {}, [], etc.).

Como símbolos definidos aparecen:

1) ˄[X ˄Y=def¬(¬X ˅¬Y)];

2) →[X→Y=def¬X ˅Y; y

3) ↔[X↔Y=def{¬(¬X˅Y) ˅¬(¬Y˄X)}].


Se emplean, además, cuatro reglas de formación:


1) una variable proposicional sola es una fórmula bien formada del cálculo;

2) si X es una fbf, entonces ¬X también lo es;

3) Si X e Y son fbfs, X ( Y también lo es; y

4) estas son todas las reglas de formación del cálculo, y esta última tiene un carácter metalingüístico respecto de las anteriores –y metalingüístico respecto al cálculo. Y se establece para dejar sentado que todas las reglas están explicitadas.


Aparecen también dos reglas de transformación:


a) dada una tesis de cálculo en la que aparezcan variables de enunciado, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por fbfs del cálculo será también una tesis del cálculo; con tal de que cada variable sea sustituida siempre que aparece, y siempre por el mismo sustituto (regla de sustitución); y

b) si X es una tesis del sistema, y lo es también X ( Y, entones Y es una tesis del sistema (modus ponens).


Russell y Whitehead formularon, demás, los siguientes seis axiomas:


1) lo que esté implicado por una premisa verdadera es verdadero;

2) p˅p→p;

3) q→(p˅q);

4) (p˅q) →(q˅p);

5) [p˅(q˅r)] →[q˅(p˅r)]; y

6) (q→r) →[(p˅q) →(p˅r)].


Además de estas proposiciones primitivas, formulan el “axioma de identificación de variables reales”. Cuando tenemos aseveradas por separado dos funciones de x diferentes, en donde x es indeterminado, frecuentemente es importante saber si se puede identificar la x de una aserción con la x de la otra. Este será el caso si ambas aserciones presentan x como el argumento de alguna función, si fx es un componente de ambas aserciones o, más generalmente, si ϕ(x, y, z,…) es un constituyente en una aserción y ϕ(x, u, v…) una constituyente de la otra.


Con estos elementos pueden comenzar a deducirse todos los teoremas de la lógica elemental de enunciados. Incluso puede construirse un sistema entero de lógica de enunciados con menos elementos. Por ejemplo, puede usarse una sola conectiva para definir todas las demás: la barra de Sheffer (p|q, que se lee “no conjuntamente p y q” o “p y q son incompatibles”).


Con los Principia Mathematica queda definitivamente establecida la lógica moderna como un sistema formal axiomático, plenamente simbolizado, en el que se unifican y se establecen claramente las relaciones entre la lógica de enunciados y la de predicados, los diversos tipos de predicados de primer orden, y los predicados de orden superior (la cuantificación de las variables de predicado). Aunque Gödel, en 1931, demostró la incompletitud de cualquier sistema formal que podamos construir, lo cierto es que no es posible demostrar que las matemáticas no son contradictorias.



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