5.2- Breve historia de la lógica: de la lógica clásica a la lógica simbólica

Por Santiago Armesilla

Resumen: La lógica es, al mismo tiempo, una rama de la filosofía y una ciencia formal compatible con los métodos matemáticos y, a su vez, diferentes en parte de estos. Es, también, una rama de las matemáticas, que son un conjunto de ciencias en vez de una única ciencia categorialmente cerrada (en ella encontramos álgebra, aritmética, geometría, lógica, etc.). La lógica estudia los principios de la demostración y la inferencia válida, las paradojas, las falacias y, en resumen, la noción de verdad. La lógica ha servido a los hombres como disciplina que ha permitido discernir lo verdadero de lo falso, aunque no ha sido suficiente para ello pero sí fundamental. En este artículo resumimos, como base para futuros estudios, una breve historia del desarrollo de la lógica, desde la Antigüedad clásica hasta nuestros días.

Palabras clave: Lógica clásica, lógica simbólica, lógica formal, lógica dialéctica.

I. La lógica griega.

La lógica no ha recibido siempre el mismo nombre. Platón hablaba de “dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós.

I.1. Aristóteles.

Contra estas ideas separadas reaccionó Aristóteles, quien en su Organon o colección de obras lógicas, emplea la palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen solo en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica (ciencia de la realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y procesos de la mente). Aristóteles fue el primero en formalizar las expresiones, empleando variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema lógico de términos. Además de la lógica sensu estricto, en Aristóteles aparecen estudios acerca del uso de los términos en el lenguaje ordinario, sobre el arte de la argumentación y de la retórica, de metodología de la ciencia (incluido su método inductivo), de la organización de los sistemas deductivos y de la teoría del razonamiento deductivo o silogístico.

En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje ordinario. Por eso, la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de la dialéctica de Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés de éste por el “por qué” de las cosas”. La lógica de Aristóteles parece seguir el tratado de una ontología general.

Esto se manifiesta en una serie de proposiciones que pueden resumirse así:

a) la lógica es un instrumento para el pensar y supone un pensamiento;

b) el pensamiento supone una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo;

c) es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo del ser “constitutivo” de lo real;

d) la lógica puede de este modo convertirse en ciencia de los principios de lo que es.

En Metafísica XI, 7, Aristóteles afirma que la lógica es una técnica indispensable para la investigación, pero añade que la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia. Esta teoría es el fundamento de todo conocimiento intelectual. La forma es a la vez la ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca. Si el hombre existe, la afirmación de que existe es verdadera, y si es verdadera la afirmación, el hombre existe. Pero añade que en esta relación el fundamento es la realidad, y que la realidad no es tal porque la afirmación que le concierne sea verdadera, sino que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa. En otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de la forma y no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica.

Aristóteles no pretendió fundar la lógica como ciencia formal en el sentido moderno del término. Según él, la lógica tiene un objeto, a saber, la estructura de las ciencias en general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de las ciencias. Afirma que la lógica debe analizar el lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o separación de los signos (de que consta una proposición) reproduzca o no la unión o la separación de las cosas. El lenguaje apofántico no tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son convencionales, tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos”. Por tanto, el lenguaje es convencional en su diccionario, no en su sintaxis. En consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser.

I.1.a. Cuantificación de los enunciados.

Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P es el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un sujeto o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos encontramos con un enunciado conceptual o general. En los Analíticos Anteriores (I, 24 a 16) solo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos. El enunciado es una oración que afirma o niega de algo, y es universal, particular o indefinido. Aristóteles llama universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad. El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir, una expresión lingüística como “cada”, “todos” o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, afirmando que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto. El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el predicado particularmente al sujeto, solo afirma que el concepto-predicado es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto sujeto. El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o particularmente al sujeto.

Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera. Dividía los enunciados simples en ocho tipos, según su cuantificación y su carácter afirmativo o negativo:

Afirmativo

Negativo

S es P

S no es P

Enunciado

Universal

Todo S es P (a)

Ningún S es P (e)

Particular

Algún S es P (i)

Algún S no es P (o)

Indefinido

S es P

S no es P

En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce más que cuatro tipos de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante las letras a, e, i, o, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (a), universales negativos (e), particulares afirmativos (i) y particulares negativos (o).

I.1.b. Oposición entre enunciados.

Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados puede ser de dos tipos:

1) Oposición contradictoria o contradicción: se da entre dos enunciados de los cuales uno es la negación del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicción, el otro ha de ser falso. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s no es P”. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles. La contradicción se da también, en él, entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S es P”. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados del tipo “ningún S es P” y “algún S es P”. Así, “Todo S es P” es el contradictorio de “algún S no es P”, “Ningún S es P” es el contradictorio de “Algún S es P”, “Algún S es P” es el contradictorio de “Ningún S es P”, y “Algún S no es P” es el contradictorio de “Todo S es P”. Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. Por tanto, si negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un enunciado hemos de negar su contradictorio.

2) Oposición contraria o contrariedad: se da entre dos enunciados que no pueden ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. También los dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo, entre dos enunciados de los tipos “Todo S es P” y “Ningún S es P”. Así, “Todo S es P” es el contrario de “Ningún S es P” y viceversa. Habría cuatro leyes de la oposición contradictoria: 1) Si no (todo S es P), entonces (algún S no es P); 2) Si no (ningún S es P), entonces (algún S es P); 3) Si no (algún S es P), entonces (ningún S es P); y 4) Si no (algún S no es P), entonces (todo S es P). Y habría dos leyes de la oposición contraria: 1) Si (todo S es P), entonces no (ningún S es P); y 2) Si (ningún S es P), entonces no (todo S es P). Estas dos últimas leyes son inválidas desde la lógica actual.

I.1.c. Conversión de enunciados.

Aristóteles prescinde de los enunciados singulares en su lógica madura porque pretende permutar sujeto y predicado en cualquier enunciado. Pero si el sujeto es concreto o es una entidad concreta, será imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutación es imposible. Pero si tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la permutación es siempre posible. Por eso, Aristóteles limita su consideración a los enunciados conceptuales o generales. La conversión de un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hacía de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la permutación de sus conceptos. Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse nunca. Los enunciados universales afirmativos pueden convertirse solo a condición de transformar su cuantificación de universal en particular. Aristóteles obtiene las siguientes leyes lógicas de la conversión: 1) Si (ningún S es P), entonces (ningún S es P); 2) Si (algún S es P), entonces (algún S es P); y 3) Si (todo S es P), entonces (algún S es P).

I.1.d. Silogismos y figuras.

Aristóteles usa la palabra “silogismo” para referirse a la deducción formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión), cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “Todo S es P”, “Ningún S es P”, “Algún S es P” o “Algún S no es P”, donde S y P son conceptos generales que en los tres enunciados juntos aparecen, ni más ni menos. Para que las premisas impliquen la conclusión, es preciso que en ella aparezcan los dos conceptos de la conclusión (extremos), uno en cada premisa y, además, un concepto nuevo, que no aparece en la conclusión, pero que aparece en ambas premisas (medio). Estas combinaciones se clasifican en figuras:

- 1ª figura: se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto medio es predicado de una premisa y sujeto de otra. (1.1- Si todo S es P y todo P es Q, entonces todo S es Q). De aquí se deriva que 1.2- si todo S es P y ningún P es Q, entonces ningún S es Q; 1.3 - si algún S es P y todo P es Q, entonces algún S es Q; y 1.4- si algún S es P y ningún P es Q, entones algún S no es Q.

-2ª figura: se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto medio es predicado de ambas premisas. También se dan cuatro combinaciones: 2.1.- si todo S es P y ningún Q es P, entonces ningún S es Q; 2.2.- si ningún S es P y todo Q es P, entonces ningún S es Q; 2.3.- si algún S es P y ningún Q es P, entonces algún S no es Q; y 2.4.- si algún S no es P y todo Q es P, entonces algún S no es Q.

-3ª figura: se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el concepto medio es el sujeto de ambas. En esta tercera figura, Aristóteles reconoce seis combinaciones en las cuales las premisas implican la conclusión: 3.1.- Si todo P es S y algún P es Q, entonces algún S es Q; 3.2.- si todo P es S y algún P no es Q, entonces algún S no es Q; 3.3.- si algún P es S y todo P es Q, entonces algún S es Q; 3.4.- si algún P es S y ningún P es Q, entonces algún S no es Q; 3.5.- si todo P es S y todo P es Q, entonces algún A es Q; y 3.6.- si todo P es S y ningún P es Q, entonces algún A no es Q.

El silogismo perfecto, para Aristóteles, es el que no necesita nada de lo puesto en las premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. El imperfecto será el que, para hacer evidente la necesidad de la conclusión, necesita de una o varias cosas que no aparecen explícitamente en las premisas, aunque se siguen necesariamente de ellas, por ejemplo necesita del silogismo perfecto como los de la 1ª figura. En esta, la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza la segunda, lo que facilita la intelección; el concepto medio ocupa efectivamente el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; y el primer y último conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último conceptos del consiguiente (o conclusión).

I.1.e. Silogismos: premisas y validez.

Para Aristóteles, toda doctrina o disciplina deriva de un conocimiento preexistente. Para que el silogismo concluya necesariamente, las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. Para ser tales, han de ser en sí mismas principios verdaderos, primeros e inmediatos (evidentes por sí mismos), y respecto a las conclusiones, más cognoscibles, anteriores a aquellas y, a la vez, su causa. Los principios son definiciones solo posibles desde la sustancia, fuente de las ciencias. Todo conocimiento es conocimiento de causas.

I.1.f. La inducción y la deducción.

Según Aristóteles, la inducción es una deducción que, en lugar de deducir un extremo de otra mediante el término medio, como hace el silogismo, deduce el término medio de un extremo, valiéndose del otro extremo. La inducción es válida si y solo sí se agotan todos los casos posibles. Es de uso limitado y no puede suplantar al silogismo deductivo, aunque es un procedimiento más fácil y claro. La inducción puede usarse en la dialéctica y en la oratoria, pero no en las ciencias.

I.2. Los estoicos.

Para ellos, lógica es la doctrina que analiza los discursos continuos (lógoi). Lógica es retórica y dialéctica, que definen como “ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso, y de lo que no es ni verdadero ni falso” (como los sofismas y paradojas). Fueron, junto con los megáricos, los primeros en estudiar la lógica de enunciados, relaciones entre estos unidos por partículas como “y”, “o”, “sí… entonces”, con forma de argumento y no de implicación, con una conclusión derivada de premisas. Establecieron leyes lógicas como el modus ponens (si P entonces Q, y P, por tanto Q), el modus tollens (si P entonces Q, y no Q, por tanto no P), el silogismo disyuntivo (P o Q, y no P, por tanto Q), etc., todos entendidos como reglas de inferencia.

I.2.a. El criterio de verdad.

Es el problema fundamental de la lógica estoica. Es la representación cataléptica o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado esta expresión. En primer lugar, la fantasía puede consistir en la acción del intelecto que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la representación impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acción del objeto sobre el entendimiento (Sexto Empírico, Zenón).

I.2.b. El asentimiento y la epoché.

El asentimiento, la suspensión o la disconformidad constituyen el juicio. Según Sexto Empírico, la verdad (o epoché) es la representación cataléptica que no tiene nada contra sí. La ciencia será la representación cataléptica o hábito inmutable para aceptar tales representaciones, acompañadas de razonamiento. No hay ciencia sin dialéctica, que preside los razonamientos.

I.2.c. El nominalismo estoico.

Para ellos, los conceptos no tienen ninguna realidad objetiva. Lo real es siempre individual, y el universal solo subsiste en las anticipaciones o en los conceptos. El estoicismo es un nominalismo. Hay cuatro conceptos o categorías: sustancia, cualidad, modo de ser modo relativo. La siguiente encierra la precedente y la determina. Nada es relativo sin modo de ser, sin cualidad fundamental y sin ser sustancia. Todo es. El concepto más determinado es el de especie.

I.2.d. La proposición y el razonamiento.

Estas ideas estoicas influyeron mucho en la lógica medieval y moderna, cuando significado se llamó connotación, intensión o comprensión, y lo que significa se llamó suposición, referencia, denotación o extensión. Su fundamento es la teoría del significado. Coligan tres elementos: significado (incorpóreo, nos viene a la mente cuando oímos una palabra referida a esta o a una cosa determinada), lo que significa y lo que es, que son corpóreos. Solo la proposición es un significado completo porque puede expresarse en una frase. Los estoicos distinguen la confluencia de un razonamiento de su verdad. Los tipos fundamentales de razonamientos concluyentes se llaman apodícticos, o no demostrativos, evidentes por sí mismo, siempre válidos pero no siempre verdaderos. Solamente son verdaderos cuando la premisa corresponde a la situación de hecho, cuando esta es verdadera. Sobre ellos se modelan los razonamientos demostrativos o indicativos, concluyentes y que manifiestan algo no manifiesto a la representación cataléptica del aquí y ahora. Ponen en claro lo que antes era oscuro, también por rememoración. Según Filón de Megara y Diodoro de Cronos, “si… entonces” será falso cuando nunca el antecedente es falso y el consecuente falso (implicación material permanente, Russell, Frege, Lewis y la implicación estricta).

II. Del medievo al álgebra lógica.

En el Occidente cristiano, del siglo XI al XV, se desarrolla la lógica medieval, que hereda la griega, en especial la silogística aristotélica. Las nuevas aportaciones de la Escolástica son, según Prior: 1) una teoría general de la referencia (suppositio terminorum); 2) una teoría general de la implicación (consequentia); 3) un desarrollo de la lógica de las modalidades; y 4) el tratamiento de paradojas y problemas lógicos del lenguaje. El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica de Alcuino, escrita para enseñarse en la enseñanza elemental de la época, o trívium, a iniciativa de Carlomagno. Quedó asociada a las artes liberales. Más tarde, Pedro Abelardo redacta Sic et Non. A partir delos siglos XII y XIII, se construye la nueva lógica aristotélico-escolástica o ars nova. En los siglos XIV y XV influyó la Summulae Logicales, de Pedro Hispano. En Oxford las figuras más importantes son Duns Escoto y Ockham. La lógica estoica influye sobre la medieval a través de la lógica sobre las consecuencias (a través del uso de la partícula “ergo”). Se añade la teoría de la suppositio, que influye en la actual teoría de cuantificación.

II.1. Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones categóricas.

En De philosophia rationali, Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro proposiciones clásicas, divididas en universales (cuando el predicado es atribuido o negado con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto), particulares (cuando al predicado se atribuye o se niega alguno de los entes abarcados por el sujeto), singulares (cuando el predicado se afirma o se niega de un solo individuo) e indefinidas (cuando el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, sin precisar a cuántos individuos se hace referencia). Boecio parte de Apuleyo, pero introduce proposiciones contradictorias, contrarias, subcontrarias y subalternas. Introduce términos como sujeto, predicado y contingente. Introduce las inferencias inmediatas (la conclusión surge inmediatamente de la premisa, sin mediar una segunda premisa), las inferencias por conversión (intercambio de sujeto y predicado en las proposiciones, por conversio simplex o per accidens), por obversión y por contraposición). Para Boecio, las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas. Es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición hipotética, pero no lo inverso. Distingue dos tipos de proposiciones hipotéticas: cuando el consecuente está vinculado al antecedente de manera accidental, y cuando el consecuente es una consecuencia natural del antecedente.

II.2. Pedro Hispano.

En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y versos mnemoténicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de la lógica. Con la A se indica la proposición universal afirmativa, con la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular negativa. También incluye la lógica terminalista. Las propiedades de los términos son la suposición (la más importante, propia del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión semántica, diferenciando suposición simple para la cosa universal, y suposición personal cuando el término común está entre los sujetos comprendidos por el mismo), la ampliación, la restricción, la apelación y la distribución.